평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 값이고, 중앙값은 크기순으로 놓았을 때 가운데 값이다. 같은 자료라도 큰 값 하나가 있으면 두 결과가 달라질 수 있다.
직접 만든 예시로 작업시간이 10·10·10·10·60분인 다섯 건을 보자. 합계는 100분이다.
- 평균: 100÷5 = 20분. 전체 작업시간을 건수로 나눈 값이다.
- 중앙값: 정렬된 다섯 값 중 세 번째인 10분. 가운데 순위의 작업시간이다.
이 자료에서는 대부분의 작업을 설명할 때 10분이 더 가까우며, 총 투입시간을 계산하려면 평균 20분×5건을 써야 한다. 중앙값 10분×5건으로 계산하면 실제 100분의 절반만 잡게 된다. 어떤 숫자가 더 좋은지가 아니라 무엇을 설명할지에 따라 선택한다.
평균과 중앙값이 다를 때 어느 하나부터 고르면 해석의 폭이 좁아진다. 독자가 알고 싶은 것이 다수 사례의 경험인지, 전체 시간·비용처럼 모든 값을 더한 결과인지 먼저 정해야 한다.
평균은 모든 관측값의 합을 개수로 나눈 값이다. 중앙값은 값을 순서대로 놓았을 때 가운데에 오는 값이며, 짝수 개라면 가운데 두 값의 평균이다. 호주통계청의 중심경향치 해설처럼 두 값은 같은 자료에서도 서로 다른 중심을 보여 줄 수 있다.
다수의 경험을 말할 때는 중앙값이 유용하다
배송에 걸린 시간이나 통근 시간처럼 한 사람이 보통 겪는 경험을 설명하려면 중앙값이 좋은 출발점이다. 관측값의 절반은 중앙값보다 작거나 같고, 나머지 절반은 크거나 같기 때문에 소수의 큰 값이 다수의 경험을 크게 흔들지 못한다.
그렇다고 큰 값을 없애도 된다는 뜻은 아니다. 큰 값이 입력 오류인지, 드물지만 실제로 일어난 지연인지 확인해야 한다. 유효한 극단값이라면 삭제하지 않고, 그 값이 비용·위험에 미친 영향은 평균이나 별도 지표로 함께 보여 주는 편이 낫다. 캐나다 통계청의 기초 통계 강의도 큰 값이 평균을 크게 바꿀 수 있으므로 자료를 점검해야 한다고 설명한다.
총시간과 총비용에는 평균이 필요하다
한 건당 평균 처리시간이 12분이고 처리 건수가 1,000건이라면, 이 자료가 같은 조건을 대표한다고 가정할 때 예상 총 처리시간은 1만2,000분이다. 오래 걸린 일부 건에도 실제 시간이 들었으므로 이 계산에서는 평균에서 빼면 안 된다. 중앙값이 8분이라면 전형적인 처리는 설명할 수 있지만, 총 투입시간을 8,000분으로 추정할 근거는 되지 않는다.
비율을 합칠 때는 분모도 살펴야 한다. 방문자 수가 다른 지점들의 전체 전환율은 Σ(전환 건수) ÷ Σ(방문자 수)로 구한다. 이는 원자료를 쓸 수 있을 때 Σ(지점 전환율×방문자 수) ÷ Σ방문자 수와 같다. 화면에 표시된 반올림 전환율을 그대로 곱하면 오차가 생길 수 있으므로, 가능하면 전환 건수와 방문자 수를 사용해야 한다.
평균과 중앙값의 간격은 분포를 더 보라는 신호다
호주통계청의 11명 은퇴 연령 예시에서는 마지막 값이 60세일 때 평균이 56.6세, 중앙값이 57세다. 마지막 값을 81세로 바꾸면 중앙값은 57세로 유지되지만 평균은 58.5세가 된다. 합계가 623에서 644로 21 늘고, 이를 11로 나눈 값이 약 1.9 증가하기 때문이다.
56.6세
58.5세
57세
평균이 중앙값보다 크면 오른쪽 꼬리가 길거나 큰 값이 평균을 끌어올렸을 가능성을 살펴볼 수 있다. 하지만 그 차이만으로 오류나 이상치라고 단정할 수는 없다. 미국 국립표준기술연구소의 방법론 핸드북은 대칭적 정규분포에서는 평균과 중앙값이 비슷하지만, 치우치거나 꼬리가 두꺼운 분포에서는 어느 하나만으로 전형적 값을 정하기 어렵다고 설명한다.
평균과 중앙값이 같아도 같은 모습은 아니다
평균과 중앙값이 같다고 자료가 비슷하게 퍼져 있다는 뜻은 아니다. 가상의 처리시간 A는 8·10·10·10·12분, B는 2·10·10·10·18분이라고 하자. 두 묶음 모두 합계가 50분이므로 평균은 10분이고, 정렬했을 때 가운데도 10분이다. 그러나 최솟값과 최댓값의 차이는 A가 4분, B가 16분이다.
| 가상 처리시간 5건 | 평균 | 중앙값 | 범위 | 15분 이내 |
|---|---|---|---|---|
| A: 8·10·10·10·12분 | 10분 | 10분 | 4분 | 5건 |
| B: 2·10·10·10·18분 | 10분 | 10분 | 16분 | 4건 |
따라서 “평균 처리시간 10분”이라는 말은 두 경우를 구별하지 못한다. 15분 안에 끝내겠다는 약속을 점검하는 일이라면 평균이나 중앙값에 더해 15분 이내 건수와 전체 건수를 함께 적는 편이 낫다. 처리시간이 얼마나 들쭉날쭉한지도 알려야 한다면 최솟값·최댓값 또는 사분위 범위를 덧붙인다. 이 수치는 실제 서비스 기록이 아니라, 같은 평균과 중앙값이 서로 다른 운영 결과를 가릴 수 있음을 보이는 계산 예시다.
숫자 하나를 내기 전에 함께 적을 정보
- 무엇을 답하는지: 전형적 사례인지, 전체 합계나 예상 자원인지
- 자료의 범위: 관측 수, 기간, 최소·최대와 가능하면 사분위 범위
- 집계 기준: 주문당·고객당 같은 관측 단위, 0을 포함하는 조건, 결측값을 제외하거나 대체한 방법
- 차이의 해석: 평균과 중앙값의 방향, 큰 값의 원인과 유효성
관측 단위와 0·결측값 처리 기준이 다르면 같은 기간의 자료도 직접 비교할 수 없다. 주문이 없던 날의 0을 빼면 평균이 올라갈 수 있고, 기록하지 못한 결측값을 0으로 바꾸면 실제로 관측한 0과 미관측 상태가 섞인다. 비교 전에 단위를 맞추고, 0을 포함한 조건과 결측값 처리 방법을 평균·중앙값 옆에 적어야 한다.
“중앙값은 8분, 평균은 12분, 대상은 1,000건”처럼 쓰면 다수의 경험과 전체 규모를 함께 전달할 수 있다. 하나만 제시해야 한다면, 그 숫자가 답할 질문과 제외되는 정보를 문장으로 밝혀야 오해를 줄일 수 있다.